Varg Kise kahate hain (वर्ग की परिभाषा) – दोस्तो आइए समझते हैं की वर्ग किसे करते हैं आसान शब्दो मे “चार भुजाओं से घिरी बंद आकृति जिसकी चारों भुजाएं बराबर हों तथा चारों कोण समकोण हों, ऐसी आकृति को वर्ग कहा जाता है।”
उदाहरण- एक आकृति जिसकी चार भुजायें है और चारों भुजायें 4 cm की है तथा इसके चारों कोण भी 90० के हैं।
- ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360
- ∠A = ∠B = ∠C = ∠D
- अर्थात सभी भुजाओं का माप बराबर हो.
- ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90
- भुजाओं की संख्या = 4
- विकर्ण की संख्या = 2
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वर्ग का क्षेत्रफल
जैसा की आप यह जानते है कि आकृति द्वारा घेरे गए क्षेत्र को ही क्षेत्रफल कहा जाता हैं । उसी प्रकार वर्ग के भुजाओं द्वारा घेरा गया क्षेत्र ही वर्ग का क्षेत्रफल (chetrafal) होता है। वर्ग के क्षेत्रफल का formula (सूत्र ) भुजा x भुजा होता है।
वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा x भुजा
यानि की, यदि की वर्ग के भुजा का माप 5 cm है तो उसका क्षेत्रफल 5 cm x 5 cm = 25 cm ^2 होगा। चलिए कुछ प्रश्नों को हल कर वर्ग का क्षेत्रफल के सूत्र पर अपना कमांड कर लेते हैं।
उदाहरण: अगर किसी वर्ग के भुजा की लम्बाई 3 सेंटीमीटर हैं. तो हमे ज्ञात हैं की वर्ग के सभी भुजाओ की लम्बाई 3 सेंटीमीटर होगी. क्योंकि वर्ग की सभी भुजाए समान होती हैं. वर्ग का क्षेत्रफल हम आसानी से सूत्र के द्वारा ज्ञात कर सकते हैं.
वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा x भुजा
= 3 x 3
= 9 वर्ग सेंटीमीटर
वर्ग का परिमाप
भुजाओं के मापों के योग को ही परिमाप कहा जाता है। अतः वर्ग के चारों भुजाओं के मापों का योग ही वर्ग का परिमाप होगा होगा। और वर्ग के परिमाप का formula (सूत्र) बराबर [4 x भुजा] होता है।
वर्ग का परिमाप = 4 x भुजा
उदाहरण: अगर किसी वर्ग की भुजा की लम्बाई 2 सेंटीमीटर हैं. तो आसानी से वर्ग का परिमाप सूत्र की सहायता से ज्ञात किया जा सकता हैं.
वर्ग का परिमाप का सूत्र = 4 x भुजा की लम्बाई
= 4 x 2
= 8 सेंटीमीटर
यदि कोई वर्ग 7 cm भुजा वाला है तो उसका परिमाप 28 cm होगा।
वर्ग का विकर्ण – वर्ग का विकर्ण वर्ग को दो समकोण त्रिभुजों में विभाजित कर देता है। वर्ग का विकर्ण का सूत्र (formula) = √2 s होता है।
पाईथागोरस प्रमेय से, लम्ब = विकर्ण
(कर्ण)2 = (लम्ब)2 + (आधार)2
अर्थात, (विकर्ण)2 = (भुजा)2 + (भुजा)2
=> (विकर्ण)2 = 2 (भुजा)2 => (विकर्ण) = √2 (भुजा)2
अतः d = √2 (a)2
वर्ग का विकर्ण (d) = s √2
तो चलिए अब ओर आसान शब्दो मे यह जान लेते है की वर्ग का विकर्ण √2 s कैसे होता है ?
वर्ग का विकर्ण निकालने के लिए निम्नलिखित steps को देखे-
- सर्वप्रथम एक वर्ग ABCD को लिया
- जिसमे सभी भुजाओं AB, BC, CD और AD का माप s है।
- वर्ग का विकर्ण AD का माप d है।
- अब समकोण त्रिभुज ACD को लेंगे। जिसमे AC = d , CD= s और AD = s
अब पायथागोरस थीओरम का उपयोग कर विकर्ण AD का मान ज्ञात करेंगे-
त्रिभुज ACD में-
⇒ AD^2 = CD^2 + AC^2
⇒ AD = √ CD^2 + AC^2
⇒ d = √ s^2 + s^2
⇒ d = s √2
वर्ग का विकर्ण = s √2
उदाहरण: माना की किसी वर्ग की भुजा की लम्बाई 3 सेंटीमीटर हैं. अंत वर्ग के विकर्ण की लम्बाई हम आसानी से सूत्र के द्वारा ज्ञात करते हैं.
वर्ग का विकर्ण का सूत्र = √2 × भुजा
= √2 × 3
= 1.414 × 3
= 4.242 सेंटीमीटर
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वर्ग का गुणधर्म – वर्ग एक चार समान भुजाओं वाली आकृति है जिसके सभी कोण समान यानि की 90० के होते है। वर्ग के कुछ गुणधर्म भी है जो नीचे दिए हुए है –
- वर्ग के चारों भुजायें समान होती है।
- वर्ग की विपरीत भुजायें एक दूसरे के लम्बवत होती है।
- वर्ग के चारों आंतरिक कोण 90 ० के होते हैं ।
- सभी आंतरिक कोणों का योग 360 ० होता है।
- एक वर्ग में दो विकर्ण हो सकते है और दोनों विकर्णों का माप बराबर होता है।
- विकर्ण वर्ग को दो समकोण त्रिभुजों में विभाजित कर देता है।
- विकर्ण वर्ग को सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित कर देता है।
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